Given Question:-
Prove that :
[tex] \sf \: { |\vec{A} + \vec{B}| }^{2} - { |\vec{A} - \vec{B}| }^{2} = 4 \: \vec{A} \: . \: \vec{B}[/tex]
[tex] \green{\large\underline{\sf{Solution-}}}[/tex]
Consider, LHS
[tex]\rm :\longmapsto\: { |\vec{A} + \vec{B}| }^{2} - { |\vec{A} - \vec{B}| }^{2} [/tex]
We know,
[tex]\rm :\longmapsto\:\boxed{\tt{ |\vec{x}| ^{2} = \vec{x}.\vec{x}}}[/tex]
So, using this, we get
[tex]\rm \: = \: (\vec{A} + \vec{B}).(\vec{A} + \vec{B}) - (\vec{A} - \vec{B}).(\vec{A} - \vec{B})[/tex]
[tex]\rm \: = \:[ \vec{A}.\vec{A} + \vec{A}.\vec{B} + \vec{B}.\vec{A} + \vec{B}.\vec{B}] - [\vec{A}.\vec{A} - \vec{A}.\vec{B} - \vec{B}.\vec{A} + \vec{B}.\vec{B}][/tex]
[tex]\rm \: = \: [ { |\vec{A}| }^{2} + \vec{A}.\vec{B} + \vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^{2}] - [ { |\vec{A}| }^{2} - \vec{A}.\vec{B} - \vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^{2}][/tex]
[tex]\red{ \bigg\{ \sf \: \because \: \vec{A}.\vec{B} = \vec{B}.\vec{A} \bigg\}}[/tex]
[tex]\rm \: = \: [ { |\vec{A}| }^{2} + 2\vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^{2}] - [ { |\vec{A}| }^{2} -2 \vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^{2}][/tex]
[tex]\rm \: = \: { |\vec{A}| }^{2} + 2\vec{A}.\vec{B} + { |\vec{B}| }^{2}- [{ |\vec{A}| }^{2} + 2 \vec{A}.\vec{B} - { |\vec{B}| }^{2}[/tex]
[tex]\rm \: = \: 4 \: \vec{A}.\vec{B}[/tex]
Hence,
[tex] \sf \:\boxed{\tt{ \: \: { |\vec{A} + \vec{B}| }^{2} - { |\vec{A} - \vec{B}| }^{2} = 4 \: \vec{A} \: . \: \vec{B} \: \: }}[/tex]
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Additional Information
[tex]\boxed{\tt{ \vec{A}.\vec{B} = \vec{B}.\vec{A}}}[/tex]
[tex]\boxed{\tt{ \vec{A}.\vec{A} = { |\vec{A}| }^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed{\tt{ \vec{A} \times \vec{B} = - \vec{B} \times \vec{A}}}[/tex]
[tex]\boxed{\tt{ \vec{A} \times \vec{A} = 0}}[/tex]
[tex]\boxed{\tt{ \vec{A}.\vec{B} = 0 \: \rm\implies \:\vec{A} \: \perp \: \vec{B}}}[/tex]
[tex]\boxed{\tt{ \vec{A} \times \vec{B} = 0 \: \rm\implies \:\vec{A} \: \parallel \: \vec{B}}}[/tex]
